一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（） a． 有两个不相等的实数根 b． 有两个相等的实数根 c． 没有实数根 d． 无法确定是否有实数根2．在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ab=5，则sina的值为（） a． b． c． d． 3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） a． 长方体 b． 正方体 c． 圆柱 d． 圆锥4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） a． b． c． d． 5．如图，△abc和△a1b1c1是以点o为位似中心的位似三角形，若c1为oc的中点，ab=4，则a1b1的长为（） a． 1 b． 2 c． 4 d． 86．已知点a（x1，y1），b（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） a． y1＜0＜y2 b． y2＜0＜y1 c． y1＜y2＜0 d． y2＜y1＜07．如图，ab是半圆o的直径，ac为弦，od⊥ac于d，过点o作oe∥ac交半圆o于点e，过点e作ef⊥ab于f．若ac=2，则of的长为（） a． b． c． 1 d． 28．如图，在矩形abcd中，ab＜bc，ac，bd交于点o．点e为线段ac上的一个动点，连接de，be，过e作ef⊥bd于f，设ae=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） a． 线段ef b． 线段de c． 线段ce d． 线段be二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为cm2．（结果保留π） 10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为m．11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为a（﹣2，4），b（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为． 12．对于正整数n，定义f（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：f（6）=62=36，f（123）=f（123）=12+32=10．规定f1（n）=f（n），fk+1（n）=f（fk（n））．例如：f1（123）=f（123）=10，f2（123）=f（f1（123））=f（10）=1．（1）求：f2（4）=，f2015（4）=；（2）若f3m（4）=89，则正整数m的最小值是．三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1．14．如图，△abc中，ab=ac，d是bc中点，be⊥ac于e，求证：△acd∽△bce． 15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．16．抛物线y=2x2平移后经过点a（0，3），b（2，3），求平移后的抛物线的表达式．17．如图，在平面直角坐标系xoy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于a，b两点，a点的横坐标为2，ac⊥x轴于点c，连接bc．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点p是反比例函数y= 图象上的一点，且满足△opc与△abc的面积相等，请直接写出点p的坐标． 18．如图，△abc中，∠acb=90°，sina= ，bc=8，d是ab中点，过点b作直线cd的垂线，垂足为点e．（1）求线段cd的长；（2）求cos∠abe的值． 19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值．21．如图，四边形abcd是平行四边形，点a，b，c在⊙o上，ad与⊙o相切，射线ao交bc于点e，交⊙o于点f．点p在射线ao上，且∠pcb=2∠baf．（1）求证：直线pc是⊙o的切线；（2）若ab= ，ad=2，求线段pc的长． 22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，a，b，c是点阵中的三个点，请在点阵中找到点d，作出线段cd，使得cd⊥ab；（2）如图2，线段ab与cd交于点o．为了求出∠aod的正切值，小明在点阵中找到了点e，连接ae，恰好满足ae⊥cd于点f，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：oc=；tan∠aod=； 解决问题：如图3，计算：tan∠aod=．23．在平面直角坐标系xoy中，反比例函数y= 的图象经过点a（1，4）、b（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点b，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．24．如图1，在△abc中，bc=4，以线段ab为边作△abd，使得ad=bd，连接dc，再以dc为边作△cde，使得dc=de，∠cde=∠adb=α．（1）如图2，当∠abc=45°且α=90°时，用等式表示线段ad，de之间的数量关系；（2）将线段cb沿着射线ce的方向平移，得到线段ef，连接bf，af．①若α=90°，依题意补全图3，求线段af的长；②请直接写出线段af的长（用含α的式子表示）． 25．在平面直角坐标系xoy中，设点p（x1，y1），q（x2，y2）是图形w上的任意两点．定义图形w的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则s=mn为图形w的测度面积．例如，若图形w是半径为1的⊙o，当p，q分别是⊙o与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当p，q分别是⊙o与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形w的测度面积s=mn=4（1）若图形w是等腰直角三角形abo，oa=ob=1．①如图3，当点a，b在坐标轴上时，它的测度面积s=；②如图4，当ab⊥x轴时，它的测度面积s=；（2）若图形w是一个边长1的正方形abcd，则此图形的测度面积s的值为；（3）若图形w是一个边长分别为3和4的矩形abcd，求它的测度面积s的取值范围．一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．方程x2﹣3x﹣5=0的根的情况是（） a． 有两个不相等的实数根 b． 有两个相等的实数根 c． 没有实数根 d． 无法确定是否有实数根考点： 根的判别式． 分析： 求出b2﹣4ac的值，再进行判断即可．解答： 解：x2﹣3x﹣5=0，△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）=29＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选a．点评： 本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程没有实数根．2．在rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ab=5，则sina的值为（） a． b． c． d． 考点： 锐角三角函数的定义． 分析： 直接根据三角函数的定义求解即可．解答： 解：∵rt△abc中，∠c=90°，bc=3，ab=5，∴sina= = ．故选a． 点评： 此题考查的是锐角三角函数的定义，比较简单，用到的知识点：正弦函数的定义：我们把锐角a的对边a与斜边c的比叫做∠a的正弦，记作sina．即sina=∠a的对边：斜边=a：c．3．若如图是某个几何体的三视图，则这个几何体是（） a． 长方体 b． 正方体 c． 圆柱 d． 圆锥考点： 由三视图判断几何体． 分析： 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答： 解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选：d．点评： 本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．4．小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到的座位号是偶数的概率是（） a． b． c． d． 考点： 概率公式． 分析： 由六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答： 解：∵六个空座位供他选择，座位号分别为1号、4号、6号、3号、5号和2号，∴抽到的座位号是偶数的概率是： = ．故选c．点评： 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．如图，△abc和△a1b1c1是以点o为位似中心的位似三角形，若c1为oc的中点，ab=4，则a1b1的长为（） a． 1 b． 2 c． 4 d． 8考点： 位似变换． 专题： 计算题．分析： 根据位似变换的性质得到 = ，b1c1∥bc，再利用平行线分线段成比例定理得到 = ，所以 = ，然后把oc1= oc，ab=4代入计算即可．解答： 解：∵c1为oc的中点，∴oc1= oc，∵△abc和△a1b1c1是以点o为位似中心的位似三角形，∴ = ，b1c1∥bc，∴ = ，∴ = ，即 = ∴a1b1=2．故选b．点评： 本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．6．已知点a（x1，y1），b（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（） a． y1＜0＜y2 b． y2＜0＜y1 c． y1＜y2＜0 d． y2＜y1＜0考点： 反比例函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题．分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到y1=﹣ ，y2=﹣ ，然后利用x1＜0＜x2即可得到y1与y2的大小．解答： 解：∵a（x1，y1），b（x2，y2）是反比例函数y=﹣ 的图象上的两点，∴y1=﹣ ，y2=﹣ ，∵x1＜0＜x2，∴y2＜0＜y1．故选b．点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．7．如图，ab是半圆o的直径，ac为弦，od⊥ac于d，过点o作oe∥ac交半圆o于点e，过点e作ef⊥ab于f．若ac=2，则of的长为（） a． b． c． 1 d． 2考点： 垂径定理；全等三角形的判定与性质． 分析： 根据垂径定理求出ad，证△ado≌△ofe，推出of=ad，即可求出答案．解答： 解：∵od⊥ac，ac=2，∴ad=cd=1，∵od⊥ac，ef⊥ab，∴∠ado=∠ofe=90°，∵oe∥ac，∴∠doe=∠ado=90°，∴∠dao+∠doa=90°，∠doa+∠ef=90°，∴∠dao=∠eof，在△ado和△ofe中， ，∴△ado≌△ofe（aas），∴of=ad=1，故选c．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，垂径定理的应用，解此题的关键是求出△ado≌△ofe和求出ad的长，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．8．如图，在矩形abcd中，ab＜bc，ac，bd交于点o．点e为线段ac上的一个动点，连接de，be，过e作ef⊥bd于f，设ae=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的（） a． 线段ef b． 线段de c． 线段ce d． 线段be考点： 动点问题的函数图象． 分析： 作bn⊥ac，垂足为n，fm⊥ac，垂足为m，dg⊥ac，垂足为g，分别找出线段ef、ce、be最小值出现的时刻即可得出结论．解答： 解：作bn⊥ac，垂足为n，fm⊥ac，垂足为m，dg⊥ac，垂足为g． 由垂线段最短可知：当点e与点m重合时，即ae＜ 时，fe有最小值，与函数图象不符，故a错误；由垂线段最短可知：当点e与点g重合时，即aed＞ 时，de有最小值，故b正确；∵ce=ac﹣ae，ce随着ae的增大而减小，故c错误；由垂线段最短可知：当点e与点n重合时，即ae＜ 时，be有最小值，与函数图象不符，故d错误；故选：b．点评： 本题主要考查的是动点问题的函数图象，根据垂线段最短确定出函数最小值出现的时刻是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．如图，已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则扇形的面积为3πcm2．（结果保留π） 考点： 扇形面积的计算． 专题： 压轴题．分析： 知道扇形半径，圆心角，运用扇形面积公式就能求出．解答： 解：由s= 知s= × π×32=3πcm2．点评： 本题主要考查扇形面积的计算，知道扇形面积计算公式s= ．10．在某一时刻，测得一根高为2m的竹竿的影长为1m，同时测得一栋建筑物的影长为12m，那么这栋建筑物的高度为24m．考点： 相似三角形的应用． 分析： 根据同时同地的物高与影长成正比列式计算即可得解．解答： 解：设这栋建筑物的高度为xm，由题意得， = ，解得x=24，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为：24．点评： 本题考查了相似三角形的应用，熟记同时同地的物高与影长成正比是解题的关键．11．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为a（﹣2，4），b（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1． 考点： 二次函数的性质． 专题： 数形结合．分析： 根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为 ， ，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．解答： 解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为a（﹣2，4），b（1，1），∴方程组 的解为 ， ，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．故答案为x1=﹣2，x2=1．点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x=﹣ ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．12．对于正整数n，定义f（n）= ，其中f（n）表示n的首位数字、末位数字的平方和．例如：f（6）=62=36，f（123）=f（123）=12+32=10．规定f1（n）=f（n），fk+1（n）=f（fk（n））．例如：f1（123）=f（123）=10，f2（123）=f（f1（123））=f（10）=1．（1）求：f2（4）=37，f2015（4）=26；（2）若f3m（4）=89，则正整数m的最小值是6．考点： 规律型：数字的变化类． 专题： 新定义．分析： 通过观察前8个数据，可以得出规律，这些数字7个一个循环，根据这些规律计算即可．解答： 解：（1）f2（4）=f（f1（4））=f（16）=12+62=37；f1（4）=f（4）=16，f2（4）=37，f3（4）=58，f4（4）=89，f5（4）=145，f6（4）=26，f7（4）=40，f8（4）=16，通过观察发现，这些数字7个一个循环，2015是7的287倍余6，因此f2015（4）=26；（2）由（1）知，这些数字7个一个循环，f4（4）=89=f18（4），因此3m=18，所以m=6．故答案为：（1）37，26；（2）6．点评： 本题属于数字变化类的规律探究题，通过观察前几个数据可以得出规律，熟练找出变化规律是解题的关键．三、解答题（共13小题，满分72分）13．计算：（﹣1）2015+sin30°﹣（π﹣3.14）0+（ ）﹣1．考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．分析： 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负指数幂法则计算即可．解答： 解：原式=﹣1+ ﹣1+2= ．点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．如图，△abc中，ab=ac，d是bc中点，be⊥ac于e，求证：△acd∽△bce． 考点： 相似三角形的判定． 专题： 证明题．分析： 根据等腰三角形的性质，由ab=ac，d是bc中点得到ad⊥bc，易得∠adc=∠bec=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．解答： 证明：∵ab=ac，d是bc中点，∴ad⊥bc，∴∠adc=90°，∵be⊥ac，∴∠bec=90°，∴∠adc=∠bec，而∠acd=∠bce，∴△acd∽△bce．点评： 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．15．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的实数根，求代数式 的值．考点： 一元二次方程的解． 专题： 计算题．分析： 把x=m代入方程得到m2﹣2=3m，原式分子利用平方差公式化简，将m2﹣2=3m代入计算即可求出值．解答： 解：把x=m代入方程得：m2﹣3m﹣2=0，即m2﹣2=3m，则原式= = =3．点评： 此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．抛物线y=2x2平移后经过点a（0，3），b（2，3），求平移后的抛物线的表达式．考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 计算题．分析： 由于抛物线平移前后二次项系数不变，则可设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，然后把点a和点b的坐标代入得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c即可得到平移后的抛物线的表达式．解答： 解：设平移后的抛物线的表达式为y=2x2+bx+c，把点a（0，3），b（2，3）分别代入得 ，解得 ，所以平移后的抛物线的表达式为y=2x2﹣4x+3．点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．如图，在平面直角坐标系xoy中，正比例函数y=2x与反比例函数y= 的图象交于a，b两点，a点的横坐标为2，ac⊥x轴于点c，连接bc．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点p是反比例函数y= 图象上的一点，且满足△opc与△abc的面积相等，请直接写出点p的坐标． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）把a点横坐标代入正比例函数可求得a点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；（2）由条件可求得b、c的坐标，可先求得△abc的面积，再结合△opc与△abc的面积相等求得p点坐标．解答： 解：（1）把x=2代入y=2x中，得y=2×2=4，∴点a坐标为（2，4），∵点a在反比例函数y= 的图象上，∴k=2×4=8，∴反比例函数的解析式为y= ；（2）∵ac⊥oc，∴oc=2，∵a、b关于原点对称，∴b点坐标为（﹣2，﹣4），∴b到oc的距离为4，∴s△abc=2s△aco=2× ×2×4=8，∴s△opc=8，设p点坐标为（x， ），则p到oc的距离为| |，∴ ×| |×2=8，解得x=1或﹣1，∴p点坐标为（1，8）或（﹣1，﹣8）．点评： 本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得a点坐标、在（2）中求得p点到oc的距离是解题的关键．18．如图，△abc中，∠acb=90°，sina= ，bc=8，d是ab中点，过点b作直线cd的垂线，垂足为点e．（1）求线段cd的长；（2）求cos∠abe的值． 考点： 解直角三角形；勾股定理． 专题： 计算题．分析： （1）在△abc中根据正弦的定义得到sina= = ，则可计算出ab=10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到cd= ab=5；（2）在rt△abc中先利用勾股定理计算出ac=6，在根据三角形面积公式得到s△bdc=s△adc，则s△bdc= s△abc，即 cd•be= • ac•bc，于是可计算出be= ，然后在rt△bde中利用余弦的定义求解．解答： 解：（1）在△abc中，∵∠acb=90°，∴sina= = ，而bc=8，∴ab=10，∵d是ab中点，∴cd= ab=5；（2）在rt△abc中，∵ab=10，bc=8，∴ac= =6，∵d是ab中点，∴bd=5，s△bdc=s△adc，∴s△bdc= s△abc，即 cd•be= • ac•bc，∴be= = ，在rt△bde中，cos∠dbe= = = ，即cos∠abe的值为 ．点评： 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．19．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x2＜0，且 ＞﹣1，求整数m的值．考点： 根的判别式；根与系数的关系． 专题： 计算题．分析： （1）由二次项系数不为0，且根的判别式大于0，求出m的范围即可；（2）利用求根公式表示出方程的解，根据题意确定出m的范围，找出整数m的值即可．解答： 解：（1）由已知得：m≠0且△=（m+2）2﹣8m=（m﹣2）2＞0，则m的范围为m≠0且m≠2；（2）方程解得：x= ，即x=1或x= ，∵x2＜0，∴x2= ＜0，即m＜0，∵ ＞﹣1，∴ ＞﹣1，即m＞﹣2，∵m≠0且m≠2，∴﹣2＜m＜0，∵m为整数，∴m=﹣1．点评： 此题考查了根的判别式，一元二次方程有两个不相等的实数根即为根的判别式大于0．20．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调查显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）； 质量档次 1 2 … x … 10 日产量（件） 95 90 … 100﹣5x … 50 单件利润（万元） 6 8 … 2x+4 … 24为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品，当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）工厂为获得利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的值．考点： 二次函数的应用． 分析： （1）根据总利润=单件利润×销售量就可以得出y与x之间的函数关系式；（2）由（1）的解析式转化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论．解答： 解：（1）由题意，得y=（100﹣5x）（2x+4），y=﹣10x2+180x+400（1≤x≤10的整数）；答：y关于x的函数关系式为y=﹣10x2+180x+400；（2）∵y=﹣10x2+180x+400，∴y=﹣10（x﹣9）2+1210．∵1≤x≤10的整数，∴x=9时，y=1210．答：工厂为获得利润，应选择生产9档次的产品，当天利润的值为1210万元．点评： 本题考查了总利润=单件利润×销售量的运用，二次函数的解析式的运用，顶点式的运用，解答时求出函数的解析式是关键．21．如图，四边形abcd是平行四边形，点a，b，c在⊙o上，ad与⊙o相切，射线ao交bc于点e，交⊙o于点f．点p在射线ao上，且∠pcb=2∠baf．（1）求证：直线pc是⊙o的切线；（2）若ab= ，ad=2，求线段pc的长． 考点： 切线的判定；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）首先连接oc，由ad与⊙o相切，可得fa⊥ad，四边形abcd是平行四边形，可得ad∥bc，然后由垂径定理可证得f是 的中点，be=ce，∠oec=90°，又由∠pcb=2∠baf，即可求得∠oce+∠pcb=90°，继而证得直线pc是⊙o的切线；（2）首先由勾股定理可求得ae的长，然后设⊙o的半径为r，则oc=oa=r，oe=3﹣r，则可求得半径长，易得△oce∽△cpe，然后由相似三角形的对应边成比例，求得线段pc的长．解答： （1）证明：连接oc．∵ad与⊙o相切于点a，∴fa⊥ad．∵四边形abcd是平行四边形，∴ad∥bc，∴fa⊥bc．∵fa经过圆心o，∴f是 的中点，be=ce，∠oec=90°，∴∠cof=2∠baf．∵∠pcb=2∠baf，∴∠pcb=∠cof．∵∠oce+∠cof=180°﹣∠oec=90°，∴∠oce+∠pcb=90°．∴oc⊥pc．∵点c在⊙o上，∴直线pc是⊙o的切线．（2）解：∵四边形abcd是平行四边形，∴bc=ad=2．∴be=ce=1．在rt△abe中，∠aeb=90°，ab= ，∴ ．设⊙o的半径为r，则oc=oa=r，oe=3﹣r．在rt△oce中，∠oec=90°，∴oc2=oe2+ce2．∴r2=（3﹣r）2+1．解得 ，∵∠coe=∠pce，∠oec=∠cep=90°．∴△oce∽△cpe，∴ ．∴ ．∴ ． 点评： 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．22．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，a，b，c是点阵中的三个点，请在点阵中找到点d，作出线段cd，使得cd⊥ab；（2）如图2，线段ab与cd交于点o．为了求出∠aod的正切值，小明在点阵中找到了点e，连接ae，恰好满足ae⊥cd于点f，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：oc= ；tan∠aod=5； 解决问题：如图3，计算：tan∠aod= ．考点： 相似形综合题． 分析： （1）用三角板过c作ab的垂线，从而找到d的位置；（2）连接ac、db、ad、de．由△aco∽△dbo求得co的长，由等腰直角三角形的性质可以求出af，df的长，从而求出of的长，在rt△afo中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠aod的值；（3）如图，连接ae、bf，则af= ，ab= ，由△aoe∽△bof，可以求出ao= ，在rt△aof中，可以求出of= ，故可求得tan∠aod．解答： 解：（1）如图所示： 线段cd即为所求．（2）如图2所示连接ac、db、ad． ∵ad=de=2，∴ae=2 ．∵cd⊥ae，∴df=af= ．∵ac∥bd，∴△aco∽△dbo．∴co：do=2：3．∴co= ．∴do= ．∴of= ．tan∠aod= ．（3）如图3所示： 根据图形可知：bf=2，ae=5．由勾股定理可知：af= = ，ab= = ．∵fb∥ae，∴△aoe∽△bof．∴ao：ob=ae：fb=5：2．∴ao= ．在rt△aof中，of= = ．∴tan∠aod= ．点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．23．在平面直角坐标系xoy中，反比例函数y= 的图象经过点a（1，4）、b（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点b，求代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值；（3）若反比例函数y= 的图象与二次函数y=a（x﹣1）2的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．考点： 反比例函数综合题；代数式求值；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的性质． 专题： 综合题；数形结合；分类讨论．分析： （1）只需将点a、b的坐标代入反比例函数的解析式就可解决问题；（2）将点b的坐标代入y=（x﹣1）2得到n=m2﹣2m+1，先将代数式变形为mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n，然后只需将m2﹣2m+1用n代替，即可解决问题；（3）可先求出直线y=x与反比例函数y= 交点c和d的坐标，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，先求出二次函数的图象经过点d或c时对应的a的值，再结合图象，利用二次函数的性质（|a|越大，抛物线的开口越小）就可解决问题．解答： 解：（1）∵反比例函数y= 的图象经过点a（1，4）、b（m，n），∴k=mn=1×4=4，即代数式mn的值为4；（2）∵二次函数y=（x﹣1）2的图象经过点b，∴n=（m﹣1）2=m2﹣2m+1，∴m3n﹣2m2n+3mn﹣4n=m3n﹣2m2n+mn+2mn﹣4n=mn（m2﹣2m+1）+2mm﹣4n=4n+2×4﹣4n=8，即代数式m3n﹣2m2n+3mn﹣4n的值为8；（3）设直线y=x与反比例函数y= 交点分别为c、d，解 ，得： 或 ，∴点c（﹣2，﹣2），点d（2，2）．①若a＞0，如图1， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点d时，有a（2﹣1）2=2，解得：a=2．∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0＜a＜2；②若a＜0，如图2， 当抛物线y=a（x﹣1）2经过点c时，有a（﹣2﹣1）2=﹣2，解得：a=﹣ ．∵|a|越大，抛物线y=a（x﹣1）2的开口越小，∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a＜﹣ ．综上所述：满足条件的a的范围是0＜a＜2或a＜﹣ ．点评： 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、求代数式的值、求直线与反比例函数图象的交点坐标、二次函数的性质等知识，另外还重点对整体思想、数形结合的思想、分类讨论的思想进行了考查，运用整体思想是解决第（2）小题的关键，考虑临界位置并运用数形结合及分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．24．如图1，在△abc中，bc=4，以线段ab为边作△abd，使得ad=bd，连接dc，再以dc为边作△cde，使得dc=de，∠cde=∠adb=α．（1）如图2，当∠abc=45°且α=90°时，用等式表示线段ad，de之间的数量关系；（2）将线段cb沿着射线ce的方向平移，得到线段ef，连接bf，af．①若α=90°，依题意补全图3，求线段af的长；②请直接写出线段af的长（用含α的式子表示）．考点： 几何变换综合题． 分析： （1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设de与bc相交于点h，连接 ae，交bc于点g，根据sas推出△ade≌△bdc，根据全等三角形的性质得出ae=bc，∠aed=∠bcd．求出∠afe=45°，解直角三角形求出即可；②过e作em⊥af于m，根据等腰三角形的性质得出∠aem=∠fme= ，am=fm，解直角三角形求出fm即可．解答： 解：（1）ad+de=4，理由是：如图1， ∵∠adb=∠edc=∠α=90°，ad=bd，dc=de，∴ad+de=bc=4；（2）①补全图形，如图2， 设de与bc相交于点h，连接ae，交bc于点g，∵∠adb=∠cde=90°，∴∠ade=∠bdc，在△ade与△bdc中， ，∴△ade≌△bdc，∴ae=bc，∠aed=∠bcd．∵de与bc相交于点h，∴∠ghe=∠dhc，∴∠egh=∠edc=90°，∵线段cb沿着射线ce的方向平移，得到线段ef，∴ef=cb=4，ef∥cb，∴ae=ef，∵cb∥ef，∴∠aef=∠egh=90°，∵ae=ef，∠aef=90°，∴∠afe=45°，∴af= =4 ；②如图2，过e作em⊥af于m，∵由①知：ae=ef=bc，∴∠aem=∠fme= ，am=fm，∴af=2fm=ef×sin =8sin ．点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．25．在平面直角坐标系xoy中，设点p（x1，y1），q（x2，y2）是图形w上的任意两点．定义图形w的测度面积：若|x1﹣x2|的值为m，|y1﹣y2|的值为n，则s=mn为图形w的测度面积．例如，若图形w是半径为1的⊙o，当p，q分别是⊙o与x轴的交点时，如图1，|x1﹣x2|取得值，且值m=2；当p，q分别是⊙o与y轴的交点时，如图2，|y1﹣y2|取得值，且值n=2．则图形w的测度面积s=mn=4（1）若图形w是等腰直角三角形abo，oa=ob=1．①如图3，当点a，b在坐标轴上时，它的测度面积s=1；②如图4，当ab⊥x轴时，它的测度面积s=1；（2）若图形w是一个边长1的正方形abcd，则此图形的测度面积s的值为2；（3）若图形w是一个边长分别为3和4的矩形abcd，求它的测度面积s的取值范围． 考点： 圆的综合题． 分析： （1）由测度面积的定义利用它的测度面积s=|oa|•|ob|求解即可；②利用等腰直角三角形的性质求出ac，ab，利用测度面积s=|ab|•|oc|求解即可；（2）先确定正方形有测度面积s时的图形，即可利用测度面积s=|ac|•|bd|求解．（3）分两种情况当a，b或b，c都在x轴上时，当顶点a，c都不在x轴上时分别求解即可．解答： 解：（1）①如图3， ∵oa=ob=1，点a，b在坐标轴上，∴它的测度面积s=|oa|•|ob|=1，故答案为：1．②如图4， ∵ab⊥x轴，oa=ob=1．∴ab= ，oc= ，∴它的测度面积s=|ab|•|oc|= × =1，故答案为：1．（2）如图5，图形的测度面积s的值， ∵四边形abcd是边长为1的正方形．∴它的测度面积s=|ac|•|bd|= × =2，故答案为：2．（3）设矩形abcd的边ab=4，bc=3，由已知可得，平移图形w不会改变其测度面积的大小，将矩形abcd的其中一个顶点b平移至x轴上，当a，b或b，c都在x轴上时，如图6，图7， 矩形abcd的测度面积s就是矩形abcd的面积，此时s=12．当顶点a，c都不在x轴上时，如图8，过点a作直线ah⊥x轴于点e，过c点作cf⊥x轴于点f，过点d作直线gh∥x轴，分别交ae，cf于点h，g，则可得四边形efgh是矩形， 当点p，q与点a，c重合时，|x1﹣x2|的值为m=ef，|y1﹣y2|的值为n=gf．图形w的测度面积s=ef•gf，∵∠abc+∠cbf=90°，∠abc+∠bae=90°，∴∠cbf=∠bae，∵∠aeb=∠bfc=90°，∴△aeb∽△bfc，∴ = = = ，设ae=4a，eb=4b，（a＞0，b＞0），则bf=3a，fc=3b，在rt△aeb中，ae2+be2=ab2，∴16a2+16b2=16，即a2+b2=1，∵b＞0，∴b= ，在△abe和△cdg中， ∴△abe≌△cdg（aas）∴cg=ae=4a，∴ef=eb+bf=4b+3a，gf=fc+cg=3b+4a，∴图形w的测度面积s=ef•gf=（4b+3a）（3b+4a）=12a2+12b2+25a =12+25 =12+25 ，当a2= 时，即a= 时，测度面积s取得值12+25× = ，∵a＞0，b＞0，∴ ＞0，∴s＞12，综上所述：测度面积s的取值范围为12≤s≤ ．点评： 本题主要考查了阅读材料题，涉及新定义，三角形相似，三角形全等的判定与性质，勾股定理及矩形，正方形等知识，解题的关键是正确的确定矩形|x1﹣x2|的值，|y1﹣y2|的值．