一、选择题：（每题2分，共12分）1．在二次根式 、 、 中，最简二次根式的个数（） a． 1个 b． 2个 c． 3个 d． 0个考点： 最简二次根式．分析： 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．解答： 解： = ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； = 被开方数含分母，不是最简二次根式； 符合最简二次根式的定义，是最简二次根式．故选：a．点评： 本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根是0，则m的值为（） a． m=2 b． m=﹣2 c． m=﹣2或2 d． m≠0考点： 一元二次方程的解；一元二次方程的定义．分析： 根据一元二次方程的解的定义、一元二次方程的定义求解，把x=0代入一元二次方程即可得出m的值．解答： 解：把x=0代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，解得：m=±2，∵m﹣2≠0，∴m=﹣2，故选b．点评： 本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．3．在同一坐标系中，正比例函数y=x与反比例函数 的图象大致是（） a． b． c． d． 考点： 反比例函数的图象；正比例函数的图象．分析： 根据正比例函数与反比例函数图象的性质解答即可．解答： 解：∵正比例函数y=x中，k=1＞0，故其图象过一、三象限，反比例函数y=﹣ 的图象在二、四象限，选项c符合；故选c．点评： 本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．4．已知反比例函数y= （k＜0）的图象上有两点a（x1，y1）、b（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是 （） a． y1＜y2 b． y1＞y2 c． y1=y2 d． 不能确定考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．分析： 由于反比例函数y= （k＜0）的k＜0，可见函数位于二、四象限，由于x1＜x2＜0，可见a（x1，y1）、b（x2，y2）位于第二象限，于是根据二次函数的增减性判断出y1与y2的大小．解答： 解：∵反比例函数y= （k＜0）的k＜0，可见函数位于二、四象限，∵x1＜x2＜0，可见a（x1，y1）、b（x2，y2）位于第二象限，由于在二四象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2．故选a．点评： 本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，函数图象上的点的坐标符合函数解析式．同时要熟悉反比例函数的增减性．5．下列定理中，有逆定理存在的是（） a． 对顶角相等 b． 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 c． 全等三角形的面积相等 d． 凡直角都相等考点： 命题与定理．分析： 先写出四个命题的逆命题，然后分别根据对顶角的定义、线段垂直平分线的逆定理、全等三角形的判定和直角的定义进行判断．解答： 解：a、“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”，此逆命题为假命题，所以a选项错误；b、“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题为“到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”，此逆命题为真命题，所以b选项正确；c、“全等三角形面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，此逆命题为假命题，所以c选项错误；d、“凡直角都相等”的逆命题为“相等的角都是直角”，此逆命题为假命题，所以d选项错误．故选b．点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了定理．6．如图，在等腰rt△abc中，∠a=90°，ab=ac，bd平分∠abc，交ac于点d，de⊥bc，若bc=10cm，则△dec的周长为（） a． 8cm b． 10cm c． 12cm d． 14cm考点： 角平分线的性质；等腰直角三角形．分析： 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得de=ad，利用“hl”证明rt△abd和rt△ebd全等，根据全等三角形对应边相等可得ab=ae，然后求出△dec的周长=bc，再根据bc=10cm，即可得出答案．解答： 解：∵bd是∠abc的平分线，de⊥bc，∠a=90°，∴de=ad，在rt△abd和rt△ebd中，∵ ，∴rt△abd≌rt△ebd（hl），∴ab=ae，∴△dec的周长=de+cd+ce=ad+cd+ce，=ac+ce，=ab+ce，=be+ce，=bc，∵bc=10cm，∴△dec的周长是10cm．故选b．点评： 本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△dec的周长=bc是解题的关键．二、填空题：（每题3分，共36分）7．化简： =3 ．考点： 二次根式的性质与化简．分析： 把被开方数化为两数积的形式，再进行化简即可．解答： 解：原式= =3 ．故答案为：3 ．点评： 本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．8．分母有理化 =﹣ ﹣1．考点： 分母有理化．分析： 先找出分母的有理化因式，再把分子与分母同时乘以有理化因式，即可得出答案．解答： 解： =﹣ ﹣1；故答案为：﹣ ﹣1．点评： 此题考查了分母有理化，找出分母的有理化因式是本题的关键，注意结果的符号．9．方程x（x﹣5）=6的根是x1=﹣1，x2=6．考点： 解一元二次方程-因式分解法．专题： 计算题．分析： 先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．解答： 解：x2﹣5x﹣6=0，（x+1）（x﹣6）=0，x+1=0或x﹣6=0，所以x1=﹣1，x2=6．故答案为x1=﹣1，x2=6．点评： 本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．10．某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为405o元．考点： 一元二次方程的应用．分析： 先求出第一次降价以后的价格为：原价×（1﹣降价的百分率），再根据现在的价格=第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）即可得出结果．解答： 解：第一次降价后价格为5000×（1﹣10%）=4500元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为4500×（1﹣10%）=4050元．答：两次降价后的价格为405o元．故答案为：405o．点评： 本题考查一元二次方程的应用，根据实际问题情景列代数式，难度中等．若设变化前的量为a，平均变化率为x，则经过两次变化后的量为a（1±x）2．11．函数 的自变量的取值范围是x≥1且x≠2．考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．专题： 计算题；压轴题．分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解答： 解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故答案为x≥1且x≠2．点评： 本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．如果 ，那么 =1．考点： 函数值．分析： 把自变量的值代入函数关系式计算即可得解．解答： 解：f（ ）= =1．故答案为：1．点评： 本题考查了函数值求解，准确计算是解题的关键．13．在实数范围内分解因式：2x2﹣x﹣2=2（x﹣ ）（x﹣ ）．考点： 实数范围内分解因式；因式分解-十字相乘法等．分析： 因为2x2﹣x﹣2=0的两根为x1= ，x2= ，所以2x2﹣x﹣2=2（x﹣ ）（x﹣ ）．解答： 解：2x2﹣x﹣2=2（x﹣ ）（x﹣ ）．点评： 先求出方程2x2﹣x﹣2=0的两个根，再根据ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）即可因式分解．14．经过a、b两点的圆的圆心的轨迹是线段ab的垂直平分线．考点： 轨迹．分析： 要求作经过已知点a和点b的圆的圆心，则圆心应满足到点a和点b的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．解答： 解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点a和点b的距离相等，即经过已知点a和点b的圆的圆心的轨迹是线段ab的垂直平分线．故答案为：线段ab的垂直平分线．点评： 此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键．15．已知直角坐标平面内两点a（4，﹣1）和b（﹣2，7），那么a、b两点间的距离等于10．考点： 两点间的距离公式．分析： 根据两点间的距离公式进行计算，即a（x，y）和b（a，b），则ab= ．解答： 解：a、b两点间的距离为： = =10．故答案是：10．点评： 此题考查了坐标平面内两点间的距离公式，能够熟练运用公式进行计算．16．请写出符合以下条件的一个函数的解析式y=﹣x+4（答案不）．①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．考点： 一次函数的性质．专题： 开放型．分析： 根据“y随x的增大而减小”所写函数的k值小于0，所以只要再满足点（3，1）即可．解答： 解：根据题意，所写函数k＜0，例如：y=﹣x+4，此时当x=3时，y=﹣1+4=3，经过点（3，1）．所以函数解析式为y=﹣x+4（答案不）．点评： 本题主要考查一次函数的性质，是开放性题目，答案不，只要满足条件即可．17．如图，已知op平分∠aob，∠aob=60°，cp=4，cp∥oa，pd⊥oa于点d，pe⊥ob于点e．如果点m是op的中点，则dm的长为2 ． 考点： 角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．分析： 根据角平分线性质得出pd=pe，根据平行线性质和角平分线定义、三角形外角性质求出∠pce=60°，角直角三角形求出pe，得出pd长，求出op，即可求出答案．解答： 解：∵op平分∠aob，∠aob=60°，∴∠aop=∠bop=30°，∵pd⊥oa，pe⊥ob，∴pd=pe，∵cp∥oa，∠aop=∠bop=30°，∴∠cpo=∠aop=30°，∴∠pce=30°+30°=60°，在rt△pce中，pe=cp×sin60°=4× =2 ，即pd=2 ，∵在rt△aop中，∠odp=90°，∠dop=30°，pd=2 ，∴op=2pd=4 ，∵m为op中点，∴dm= op=2 ，故答案为：2 ．点评： 本题考查了角平分线性质，平行线的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形的应用，题目比较典型，综合性比较强．18．如图，矩形abcd中，ab=6，bc=8，点e是bc边上一点，连接ae，把∠b沿ae折叠，使点b落在点b′处，当△ceb′为直角三角形时，be的长为3或6． 考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 当△ceb′为直角三角形时，有两种情况：①当点b′落在矩形内部时，如答图1所示．连结ac，先利用勾股定理计算出ac=10，根据折叠的性质得∠ab′e=∠b=90°，而当△ceb′为直角三角形时，只能得到∠eb′c=90°，所以点a、b′、c共线，即∠b沿ae折叠，使点b落在对角线ac上的点b′处，则eb=eb′，ab=ab′=6，可计算出cb′=4，设be=x，则eb′=x，ce=8﹣x，然后在rt△ceb′中运用勾股定理可计算出x．②当点b′落在ad边上时，如答图2所示．此时四边形abeb′为正方形．解答： 解：当△ceb′为直角三角形时，有两种情况： ①当点b′落在矩形内部时，如答图1所示．连结ac，在rt△abc中，ab=6，bc=8，∴ac= =10，∵∠b沿ae折叠，使点b落在点b′处，∴∠ab′e=∠b=90°，当△ceb′为直角三角形时，只能得到∠eb′c=90°，∴点a、b′、c共线，即∠b沿ae折叠，使点b落在对角线ac上的点b′处，如图，∴eb=eb′，ab=ab′=6，∴cb′=10﹣6=4，设be=x，则eb′=x，ce=8﹣x，在rt△ceb′中，∵eb′2+cb′2=ce2，∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，∴be=3；②当点b′落在ad边上时，如答图2所示．此时abeb′为正方形，∴be=ab=6．综上所述，be的长为3或6．故答案为：3或6．点评： 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、简答题：（每题6分，共36分）19．化简： ．考点： 二次根式的加减法．分析： 先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．解答： 解：原式= •2 +8a• ﹣a2• =a +2a ﹣a =2a ．点评： 本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．20．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+3=0．当m为何值时，方程有两个实数根？考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．分析： （m﹣1）x2﹣2mx+m+3=0，方程有两个实数根，从而得出△≥0，即可解出m的范围．解答： 解：∵方程有两个实数根，∴△≥0； （﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）≥0； ∴ ；又∵方程是一元二次方程，∴m﹣1≠0；解得m≠1；∴当 且m≠1时方程有两个实数根．点评： 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．21．如图，已知点p（x，y）是反比例函数图象上一点，o是坐标原点，pa⊥x轴，s△pao=4，且图象经过（1，3m﹣1）；求：（1）反比例函数解析式．（2）m的值． 考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．分析： （1）此题可从反比例函数系数k的几何意义入手，△pao的面积为点p向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积的一半即s= |k|，再结合反比例函数所在的象限确定出k的值，则反比例函数的解析式即可求出；（2）将（1，3m﹣1）代入解析式即可得出m的值．解答： 解：（1）设反比例函数解析式为 ，∵过点p（x，y），∴ xy=4，∴xy=8，∴k=xy=8，∴反比例函数解析式是： ；（2）∵图象经过（1，3m﹣1），∴1×（3m﹣1）=8，∴m=3．点评： 本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为 |k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．22．假定甲乙两人在一次赛跑中，路程s（米）与时间t（秒）的关系式如图所示，那么可以知道：（1）这是一次100米赛跑．（2）甲乙两人中，先到达终点的是甲．（3）乙在这次赛跑中的速度为8米/秒． 考点： 函数的图象．分析： （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；（2）根据函数图象的横坐标，可得答案；（3）根据乙的路程除以乙的时间，可得答案．解答： 解：（1）由纵坐标看出，这是一次 100米赛跑；（2）由横坐标看出，先到达终点的是甲；（3）由纵坐标看出，乙行驶的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒，乙在这次赛跑中的速度为100÷12.5=8米/秒，故答案为：100，甲，8米/秒．点评： 本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，横坐标得出时间是解题关键．23．已知：如图，在△abc中，ad是bc边上的高，ce是中线，f是ce的中点，cd= ab，求证：df⊥ce． 考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．专题： 证明题．分析： 连接de，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得de= ab，再求出de=cd，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．解答： 证明：连接de，∵ad是bc边上的高，在rt△adb中，ce是中线，∴de= ab，∵cd= ab，∴dc=de，∵f是ce中点，∴df⊥ce． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．24．已知：如图，在rt△abc中，∠acb=90°，∠bac=30°，以ac为边作等边△acd，并作斜边ab的垂直平分线eh，且eb=ab，联结de交ab于点f，求证：ef=df． 考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．专题： 证明题．分析： 根据直角三角形性质和线段垂直平分线求出bc= ab，bh= ab，推出bc=bh，推出rt△acb≌rt△ehb，根据全等得出eh=ac，求出eh=ad，∠cad=60°，∠bad=90°，根据aas推出△ehf≌△daf，根据全等三角形的性质得出即可．解答： 证明：∵在rt△abc中，∠bac=30°，∴bc= ab，∵eh垂直平分ab，∴bh= ab，∴bc=bh，在rt△acb和rt△ehb中， ，∴rt△acb≌rt△ehb（hl），∴eh=ac，∵等边△acd中，ac=ad，∴eh=ad，∠cad=60°，∠bad=60°+30°=90°，在△ehf和△daf中， ，∴△ehf≌△daf （aas）∴ef=df．点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，难度适中．四、解答题：（每题8分，共16分）25．如图，直线y= x与双曲线y= （k＞0）交于a点，且点a的横坐标为4，双曲线y= （k＞0）上有一动点c（m，n），（0＜m＜4），过点a作x轴垂线，垂足为b，过点c作x轴垂线，垂足为d，连接oc．（1）求k的值．（2）设△cod与△aob的重合部分的面积为s，求s关于m的函数解析式．（3）连接ac，当第（2）问中s的值为1时，求△oac的面积． 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．分析： （1）由题意列出关于k的方程，求出k的值，即可解决问题．（2）借助函数解析式，运用字母m表示de、od的长度，即可解决问题．（3）首先求出m的值，求出△cod，△aob的面积；求出梯形abdc的面积，即可解决问题．解答： 解：（1）设a点的坐标为（4，λ）；由题意得： ，解得：k=8，即k的值=8．（2）如图，设e点的坐标为e（m，n）．则n= m，即de= m；而od=m，∴s= od•de= m× m= ，即s关于m的函数解析式是s= ．（3）当s=1时， =1，解得m=2或﹣2（舍去），∵点c在函数y= 的图象上，∴cd= =4；由（1）知：ob=4，ab=2；bd=4﹣2=2；∴ =6， ， =4；∴s△aoc=s梯形abdc+s△cod﹣s△aob=6+4﹣4=6． 点评： 该题主要考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题；解题的关键是数形结合，灵活运用方程、函数等知识来分析、判断、求解或证明．26．如图，正方形abcd的边长为4厘米，（对角线bd平分∠abc）动点p从点a出发沿ab边由a向b以1厘米/秒的速度匀速移动（点p不与点a、b重合），动点q从点b出发沿折线bc﹣cd以2厘米/秒的速度匀速移动．点p、q同时出发，当点p停止运动，点q也随之停止．联结aq，交bd于点e．设点p运动时间为t秒．（1）用t表示线段pb的长；（2）当点q在线段bc上运动时，t为何值时，∠bep和∠beq相等；（3）当t为何值时，p、q之间的距离为2 cm． 考点： 四边形综合题．分析： （1）由正方形的性质和已知条件即可得出结果；（2）由正方形的性质得出∠pbe=∠qbe，由aas证明△bep≌△beq，得出对应边相等bp=bq，得出方程，解方程即可；（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤2时；②当2＜t＜4时；由勾股定理得出方程，解方程即可．解答： 解：（1）pb=ab﹣ap，∵ab=4，ap=1×t=t，∴pb=4﹣t；（2）t= 时，∠bep和∠beq相等；理由如下：∵四边形abcd正方形，∴对角线bd平分∠abc，∴∠pbe=∠qbe，当∠bep=∠beq时，在△bep与△beq中， ，∴△bep≌△beq（aas），∴bp=bq，即：4﹣t=2t，解得：t= ；（3）分两种情况讨论：①当0＜t≤2时；（即当p点在ab上，q点在bc上运动时），连接pq，如图1所示：根据勾股定理得： ，即（4﹣t）2+（2t）2=（2 ）2，解得：t=2或t=﹣ （负值舍去）；②当2＜t＜4时，（即当p点在ab上，q点在cd上运动时），作pm⊥cd于m，如图2所示：则pm=bc=4，cm=bp=4﹣t，∴mq=2t﹣4﹣（4﹣t）=3t﹣8，根据勾股定理得：mq2+pm2=pq2，即 ，解得t= 或t=2（舍去）；综上述：当t=2或 时；pq之间的距离为2 cm． 点评： 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，根据勾股定理得出方程，解方程才能得出结果．