一、选择题（1-10小题，每小题3分；11-16小题，每小题3分，共42分） 1．不等式x+1＞3的解集是（） a．x＞1 b．x＞﹣2 c．x＞2 d．x＜2【分析】移项、合并同类项即可求解． 【解答】解：移项，得x＞3﹣1， 合并同类项，得x＞2． 故选c． 【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变． 2．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（） a． b． c． d． 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：a、不是中心对称图形，故a选项错误； b、不是中心对称图形，故b选项错误； c、不是中心对称图形，故c选项错误； d、是中心对称图形，故d选项正确． 故选d． 【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键． 3．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（） a． b． c． d． 【分析】首先解不等式组的每个不等式，然后根据不等式的表示法即可判断． 【解答】解： ， 解①得x≤1， 解②得x＞﹣3． 故选d． 【点评】本题考查了不等式的解集在数轴上的表示法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 4．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是（） a．四边形 b．五边形 c．六边形 d．七边形【分析】一个多边形的每一个内角都等于108°，根据内角与相邻的外角互补，因而每个外角是72度．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出多边形的边数． 【解答】解：180﹣108=72， 多边形的边数是：360÷72=5． 则这个多边形是五边形． 故选：b． 【点评】考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角求边数，可以根据多边形的内角与外角的关系来解决． 5．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（） a．a（x﹣y）=ax﹣ay b．x2﹣2x+3=x（x﹣2）+3 c．=x2+3x﹣4 d．x3﹣2x2+x=x（x﹣1）2 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：a、是整式的乘法，故a错误； b、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故b错误； c、是整式的乘法，故c错误； d、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故d正确； 故选：d． 【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 6．如图，在▱abcd中，o是对角线ac，bd的交点，下列结论错误的是（） a．ab∥cd b．ab=cd c．ac=bd d．oa=oc【分析】根据平行四边形的性质推出即可． 【解答】解：∵四边形abcd是平行四边形， ∴ab∥cd，ab=cd，oa=oc， 但是ac和bd不一定相等， 故选c． 【点评】本题考查了平行四边形的性质的应用，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等且平行，平行四边形的对角线互相平分． 7．分式 可变形为（） a． b．﹣ c． d．﹣ 【分析】根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答案． 【解答】解：分式 的分子分母都乘以﹣1， 得﹣ ， 故选：d． 【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 8．若关于x的分式方程 的解为x=2，则m值为（） a．2 b．0 c．6 d．4【分析】根据分式方程 的解为x=2，将x=2代入方程可以得到m的值． 【解答】解：∵分式方程 的解为x=2， ∴ ， 解得m=6． 故选c． 【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确题意，用代入法求m的值． 9．如图1，平行四边形纸片abcd的面积为120，ad=20，ab=18．今沿两对角线将四边形abcd剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（ad、cb重合）形成一线对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两对角线长度和（） a．26 b．29 c．24 d．25 【分析】根据题意，知要求的两条对角线的和即为ad与ad边上的高的和． 【解答】解：∵ad=20，平行四边形的面积是120， ∴ad边上的高是6． ∴要求的两对角线长度和是20+6=26． 故选a． 【点评】此题主要是能够把线段之间的对应关系弄清． 10．如图，已知矩形abcd中，r、p分别是dc、bc上的点，e、f分别是ap、rp的中点，当p在bc上从b向c移动而r不动时，那么下列结论成立的是（） a．线段ef的长逐渐增大 b．线段ef的长逐渐减小 c．线段ef的长不改变 d．线段ef的长不能确定 【分析】因为r不动，所以ar不变．根据中位线定理，ef不变． 【解答】解：连接ar． 因为e、f分别是ap、rp的中点， 则ef为△apr的中位线， 所以ef= ar，为定值． 所以线段ef的长不改变． 故选：c． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边ar不变，则对应的中位线的长度就不变． 11．如图，在rt△abc中，∠c=90°，∠b=22.5°，de垂直平分ab交bc于e，若be= ，则ac=（） a．1 b．2 c．3 d．4【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算． 【解答】解：∵de垂直平分ab ∴∠b=∠dae，be=ae ∵∠b=22.5°，∠c=90° ∴∠aec=∠cae=45° ∴ac=ce ∴2ac2=ae2∴ac=2． 故选b． 【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 12．计算：101×1022﹣101×982=（） a．404 b．808 c．40400 d．80800【分析】先提取公因式，再运用平方差公式分解因式，然后计算即可． 【解答】解：101×1022﹣101×982=101（1022﹣982）=101（102+98）（102﹣98）=101×200×4=80800； 故选：d． 【点评】此题主要考查了提取公因式法和平方差公式的应用，正确进行因式分解是解题关键． 13．如图，直线y=kx+b经过点a（﹣1，﹣2）和点b（﹣2，0），直线y=2x过点a，则不等式2x＜kx+b＜0的解集为（） a．x＜﹣2 b．﹣2＜x＜﹣1 c．﹣2＜x＜0 d．﹣1＜x＜0【分析】根据不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义得到：直线y=kx+b上，点在点a与点b之间的横坐标的范围． 【解答】解：不等式2x＜kx+b＜0体现的几何意义就是直线y=kx+b上，位于直线y=2x上方，x轴下方的那部分点， 显然，这些点在点a与点b之间． 故选b． 【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合． 14．如图，已知∠aob=60°，点p在边oa上，op=10，点m、n在边ob上，pm=pn，若mn=2，则om的长为（） a．2 b．3 c．4 d．5【分析】作ph⊥mn于h，如图，根据等腰三角形的性质得mh=nh= mn=1，在rt△poh中由∠poh=60°得到∠oph=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得oh= op=5，然后计算oh﹣mh即可． 【解答】解：作ph⊥mn于h，如图， ∵pm=pn， ∴mh=nh= mn=1， 在rt△poh中，∵∠poh=60°， ∴∠oph=30°， ∴oh= op= ×10=5， ∴om=oh﹣mh=5﹣1=4． 故选c． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质． 15．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（） a． = b． = c． = d． = 【分析】设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器，根据题意可得，现在生产600台所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，据此列方程即可． 【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，则实际平均每天生产（x+50）台机器， 由题意得， = ． 故选b． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 16．如图，在△abc中，ab=ac，∠bac=90°，直角∠epf的顶点p是bc的中点，两边pe，pf分别交ab，ac于点e，f，连接ef交ap于点g，给出以下五个结论： ①∠b=∠c=45°； ②ae=cf， ③ap=ef， ④△epf是等腰直角三角形， ⑤四边形aepf的面积是△abc面积的一半． 其中正确的结论是（） a．只有① b．①②④ c．①②③④ d．①②④⑤【分析】根据等腰直角三角形的性质得：∠b=∠c=45°，ap⊥bc，ap= bc，ap平分∠bac．所以可证∠c=∠eap；∠fpc=∠epa；ap=pc．即证得△ape与△cpf全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得△ape的面积等于△cpf的面积相等，然后求出四边形aepf的面积等于△abc的面积的一半． 【解答】解：∵ab=ac，∠bac=90°，直角∠epf的顶点p是bc的中点， ∴①∠b=∠c= ×（180°﹣90°）=45°，ap⊥bc，ap= bc=pc，∠bap=∠cap=45°=∠c， ∵∠apf+∠fpc=90°，∠apf+∠ape=90°， ∴∠fpc=∠epa． ∴△ape≌△cpf（asa）， ∴②ae=cf；④ep=pf，即△epf是等腰直角三角形；同理可证得△apf≌△bpe， ∴⑤四边形aepf的面积是△abc面积的一半， ∵△abc是等腰直角三角形，p是bc的中点， ∴ap= bc， ∵ef不是△abc的中位线， ∴ef≠ap，故③错误； ④∵∠agf=∠egp=180°﹣∠ape﹣∠pef=180°﹣∠ape﹣45°， ∠aep=180°﹣∠ape﹣∠eap=180°﹣∠ape﹣45°， ∴∠aep=∠agf． 故正确的有①、②、④、⑤，共四个． 因此选d． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键． 二.填空题（每小题3分，共12分） 17．因式分解：2x3﹣8x2+8x=2x（x﹣2）2． 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=2x（x2﹣4x+4） =2x（x﹣2）2． 故答案为：2x（x﹣2）2． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 18．若x+ ，则 的值是 ． 【分析】把原分式分子分母除以x，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解： = ， 当x+ ，原式= = ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了分式的化简求值：解决本题的关键是利用整体代入的方法计算． 19．如图，△abc中，ab=4，bc=6，∠b=60°，将△abc沿射线bc的方向平移，得到△a′b′c′，再将△a′b′c′绕点a′逆时针旋转一定角度后，点b′恰好与点c重合，则平移的距离为2，旋转角的度数为60°． 【分析】根据平移和旋转的性质得到三角形全等，进而解答即可． 【解答】解：∵将△abc沿射线bc的方向平移，得到△a′b′c′，再将△a′b′c′绕点a′逆时针旋转一定角度后，点b′恰好与点c重合， ∴△abc≌△a'b'c'， ∴ab=a'b'=a'c， ∴△a'b'c是等边三角形， ∴∠a'cb'=60°，b'c=ab=4， ∴bb'=6﹣4=2，旋转角的度数为60°， 故答案为：2，60°； 【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． 20．在如图所示的平面直角坐标系中，△oa1b1是边长为2的等边三角形，作△b2a2b1与△oa1b1关于点b1成中心对称，再作△b2a3b3与△b2a2b1关于点b2成中心对称，如此作下去，则△b2na2n+1b2n+1（n是正整数）的顶点a2n+1的坐标是（4n+1， ）． 【分析】首先根据△oa1b1是边长为2的等边三角形，可得a1的坐标为（1， ），b1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点a2、a3、a4的坐标各是多少；最后总结出an的坐标的规律，求出a2n+1的坐标是多少即可． 【解答】解：∵△oa1b1是边长为2的等边三角形， ∴a1的坐标为（1， ），b1的坐标为（2，0）， ∵△b2a2b1与△oa1b1关于点b1成中心对称， ∴点a2与点a1关于点b1成中心对称， ∵2×2﹣1=3，2×0﹣ =﹣ ， ∴点a2的坐标是（3，﹣ ）， ∵△b2a3b3与△b2a2b1关于点b2成中心对称， ∴点a3与点a2关于点b2成中心对称， ∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣ ）= ， ∴点a3的坐标是（5， ）， ∵△b3a4b4与△b3a3b2关于点b3成中心对称， ∴点a4与点a3关于点b3成中心对称， ∵2×6﹣5=7，2×0﹣ =﹣ ， ∴点a4的坐标是（7，﹣ ）， …， ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴an的横坐标是2n﹣1，a2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1， ∵当n为奇数时，an的纵坐标是 ，当n为偶数时，an的纵坐标是﹣ ， ∴顶点a2n+1的纵坐标是 ， ∴△b2na2n+1b2n+1（n是正整数）的顶点a2n+1的坐标是（4n+1， ）． 故答案为：（4n+1， ）． 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出an的横坐标、纵坐标各是多少． 三、解答题 21．（1）解方程： = +1 （2）先化简，再求值：（1+ ）÷ ，其中x=3． 【分析】（1）先去分母，求出x的值，代入公分母进行检验即可； （2）先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）方程两边同时乘以x﹣2得，1﹣x=﹣1+x﹣2， 解得x=2． 检验：将x=2代入原方程，分母x﹣2=0， 所以，x=2是增根，原方程无解． （2）原式= = = ， 当x=3时，原式= = ． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助． 22．已知关于x，y的方程组 满足x﹣y≤0，求k的整数值． 【分析】方程组两方程相加表示出x﹣y，代入已知不等式求出k的范围，即可确定出k的整数解． 【解答】解： ， ①+②得：3x﹣3y=2k﹣1，即x﹣y= ≤0， 解得：k≤ ． 则k的整数解为0． 【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．如图，△abc三个顶点的坐标分别为a（﹣1，1），b（﹣4，2），c（﹣3，4）． （1）请画出△abc向右平移5个单位长度后得到△a1b1c1； （2）请画出△abc关于原点对称的△a2b2c2； （3）在x轴上求作一点p，使△pab的周长最小，并直接写出点p的坐标． 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出p点位置． 【解答】解：（1）如图所示：△a1b1c1，即为所求； （2）如图所示：△a2b2c2，即为所求； （3）如图所示，此时△pab的周长最小，p点坐标为：（﹣2，0）． 【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换和轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键． 24．如图，在▱abcd中，点e是bc边的中点，连接ae并延长与dc的延长线交于f． （1）求证：cf=cd； （2）若af平分∠bad，连接de，试判断de与af的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得到ab∥cd，从而可得到ab∥df，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点e是bc的中点，从而可根据aas来判定△bae≌△cfe，根据全等三角形的对应边相等可证得ab=cf，进而得出cf=cd； （2）利用全等三角形的判定与性质得出ae=ef，再利用角平分线的性质以及等角对等边求出da=df，利用等腰三角形的性质求出即可． 【解答】（1）证明：∵四边形abcd是平行四边形， ∴ab∥cd， ∵点f为dc的延长线上的一点， ∴ab∥df， ∴∠bae=∠cfe，∠ecf=∠eba， ∵e为bc中点， ∴be=ce， 则在△bae和△cfe中， ， ∴△bae≌△cfe（aas）， ∴ab=cf， ∴cf=cd； （2）解：de⊥af， 理由：∵af平分∠bad， ∴∠baf=∠daf， ∵∠baf=∠f， ∴∠daf=∠f， ∴da=df， 又由（1）知△bae≌△cfe， ∴ae=ef， ∴de⊥af． 【点评】此题主要考查学生对平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法是证明三角形全等． 25．某体育用品专卖店今年3月初用4000元购进了一批“中考体能测试专用绳”，上市后很快售完．该店于3月中旬又购进了和第一批数量相同的专用绳，由于第二批专用绳的进价每根比第一批提高了10元，结果进第二批专用绳共用了5000元． （1）第一批专用绳每根的进货价是多少元？ （2）若第一批专用绳的售价是每根60元，为保证第二批专用绳的利润率不低于第一批的利润率，那么第二批专用绳每根售价至少是多少元？ （提示：利润=售价﹣进价，利润率= ） 【分析】（1）设第一批绳进货时的价格为每根x元，根据第一批和第二批的数量相同，可得出方程，解出后可得出答案； （2）设第二批专用绳每根的售价为y元，根据第二批专用绳的利润率不低于第一批的利润率，可得出不等式，解出后可得出答案． 【解答】解：（1）设第一批绳进货时的价格为每根x元， 由题意得： ， 解得：x=40， 经检验，x=40是所列方程的根，且符合题意． 答：第一批专用绳的进货价格是每根40元． （2）设第二批专用绳每根的售价为y元， 由题意得： ， 解得：y≥75． 答：第二批专用绳每根的售价至少为75元． 【点评】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，对于此类应用类题目，关键是寻找等量关系或不等关系，如果这样的关系不好寻找，建议同学们多读几遍题目，寻找信息点． 26．如图，在等边△abc中，点d在直线bc上，连接ad，作∠adn=60°，直线dn交射线ab于点e，过点c作cf∥ab交直线dn于点f． （1）当点d在线段bc上，∠ndb为锐角时，如图①， ①判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由； ②过点f作fm∥bc交射线ab于点m，求证：cf+be=cd； （2）当点d在线段bc的延长线上，∠ndb为锐角时，如图②； 当点d在线段cb的延长线上，∠ndb为钝角时，如图③； 请分别写出线段cf，be，cd之间的数量关系，不需要证明； （3）在（2）的条件下，若∠adc=30°，s△abc=4 ，直接写出be和cd的长度． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质∠abc=∠acb=60°，根据已知条件得到∠1+∠adc=120°，∠adc+∠2=120°，根据等式的性质即可得到结论；②通过△mef≌△cda即可求得me=cd，因为通过证四边形bcfm是平行四边形可以得出bm=cf，从而证得cf+be=cd； （2）作fm∥bc，得出四边形bcfm是平行四边形，然后通过证得△mef≌△cda即可求得， （3）根据△abc的面积可求得ab=bc=ac=4，同时代的bd=2ab=8，求得 be=8，即可得到结论． 【解答】解：（1）①∠1=∠2， ∵△abc是等边三角形， ∴∠abc=∠acb=60° ∵∠adn=60°， ∴∠1+∠adc=120°，∠adc+∠2=120°， ∴∠1=∠2； ②证明：如图①，过点f作fm∥bc交射线ab于点m， ∵cf∥ab， ∴四边形bmfc是平行四边形， ∴bc=mf，cf=bm， ∴∠abc=∠emf，∠bde=∠mfe， ∵△abc是等边三角形， ∴∠abc=∠acb=60°，bc=ac， ∴∠emf=∠acb，ac=mf， ∵∠adn=60°， ∴∠bde+∠adc=120°，∠adc+∠dac=120°， ∴∠bde=∠dac， ∴∠mfe=∠dac， 在△mef与△cda中， ， ∴△mef≌△cda（aas）， ∴cd=me=eb+bm， ∴cd=be+cf； （2）如图②，由（1）证得四边形bmfc是平行四边形， ∴bc=mf，cf=bm， 由（1）证得△mef≌△cda（aas）， ∴cd=me=eb﹣bm， ∴cf+cd=be， 如图③，同理cf﹣cd=be； （3）∵△abc是等边三角形，s△abc=4 ， ∴易得ab=bc=ac=4， 如图②， ∵∠adc=30°，∠acb=60°， ∴cd=ac=4， ∵∠adn=60°， ∴∠cdf=30°， 又∵cf∥ab， ∴∠bcf=∠abc=60°， ∴∠cfd=∠cdf=30°， ∴cd=cf， 由（2）知be=cf+cd， ∴be=4+4=8． 如图③， ∵∠adc=30°，∠abc=60°， ∴∠bad=∠adc=30°， ∴bd=ba=4， ∴cd=bd+bc=4+4=8， ∵∠adn=60°，∠adc=30°， ∴∠bde=90°， 又∵∠dbe=∠abc=60°， ∴∠deb=30°， 在rt△bde中，∠deb=30°，bd=4， ∴be=2bd=8， 综上，be=8，cd=4或8． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．