一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是（）a． 等边三角形 b． 正方形 c． 圆 d． 平行四边形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：a、不是中心对称图形，是轴对称的图形，故本选项错误；b、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误；c、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误；d、是中心对称图形但不是轴对称的图形，故本选项正确．故选d．2．下面有四种说法：①了解某一天出入南京市的人口流量适合用普查方式；②抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是 ③“打开电视机，正在播放关于篮球巨星科比退役的相关新闻”是随机事件．④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件．其中正确说法是（）a．①②④ b．①②④ c．②③④ d．②④【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件．【分析】根据调查方式的选择、必然事件、不可能事件、随机事件的概念分别进行解答即可．【解答】解：①了解某一天出入南京市的人口流量适合用抽样调查的方式，故本选项错误；②抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是 ，正确；③“打开电视机，正在播放关于篮球巨星科比退役的相关新闻”是随机事件，正确；④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件，正确；故选c．3．下列各式从左到右的变形正确的是（）a． =1 b． = c． =x+y d． = 【考点】分式的基本性质．【分析】原式变形变形得到结果，即可作出判断．【解答】解：a、原式= =1，正确；b、原式= ，错误；c、原式为最简结果，错误；d、原式= ，错误，故选a4．下列命题中，假命题是（）a．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形b．对角线相等且互相平分的四边形是矩形c．对角线互相垂直平分的四边形是菱形d．对角线互相平分的四边形是平行四边形【考点】命题与定理；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的对角线矩形判断即可．【解答】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以a为假命题；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以b为真命题；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以c为真命题；对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以d为真命题．故选a．5．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）a．频率就是概率b．频率与试验次数无关c．概率是随机的，与频率无关d．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【考点】利用频率估计概率；随机事件．【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答即可．【解答】解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴d选项说法正确．故选：d．6．四边形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，给出下列四个条件：①ad∥bc；②ad=bc；③oa=oc；④ob=od，从中任选两个条件，能使四边形abcd为平行四边形的选法有（）a．6种 b．5种 c．4种 d．3种【考点】平行四边形的判定．【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．【解答】解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形abcd为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形abcd为平行四边形；①③可证明△ado≌△cbo，进而得到ad=cb，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形abcd为平行四边形；①④可证明△ado≌△cbo，进而得到ad=cb，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形abcd为平行四边形；∴有4种可能使四边形abcd为平行四边形．故选：c．二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）7．若分式 有意义，则x的取值范围是x≠﹣1；当x=﹣1时，分式 的值为0．【考点】分式的值为零的条件；分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件可得1+x≠0，再解即可；根据分式值为零的条件可得x2﹣1=0，且x﹣1≠0，再解即可．【解答】解：由题意得：1+x≠0，解得：x≠﹣1；由题意得：x2﹣1=0，且x﹣1≠0，解得：x=﹣1，故答案为：x≠﹣1；﹣1．8．已知▱abcd中，∠a比∠b小20°，那么∠c=80°．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据∠a+∠b=180°，∠a=∠b﹣20°，解方程组即可解决问题．【解答】解：∵四边形abcd是平行四边形，∴ad∥bc，∠a=∠c，∴∠a+∠b=180°，又∵∠a=∠b﹣20°，∴∠a=80°，∠b=100°，∴∠c=∠a=80°．故答案为80°．9．在一个不透明的口袋里装了2个红球和1个白球，每个球除了颜色外都相同，将球摇匀，据此，请你写出一个发生的可能性小于 的随机事件：求摸到白球的概率．【考点】可能性的大小；随机事件．【分析】发生的可能性小于 的随机事件就是摸出的球的个数占总数的一半以下，据此求解．【解答】解：一个不透明的口袋里装了2个红球和1个白球，摸到白球的概率为： = ＜ ，故答案为：求摸到白球的概率．10．一个样本的50个数据分别落在5个组内，第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，则第5组数据的频数为20，频率为0.4．【考点】频数与频率．【分析】总数减去其它四组的数据就是第5组的频数，用频数除以数据总数就是频率．【解答】解：根据题意可得：第1、2、3、4组数据的个数分别是2、8、15、5，共（2+8+15+5）=30，样本总数为50，故第5小组的频数是50﹣30=20，频率是 =0.4．故答案为20，0.4．11．如图，在矩形abcd中，对角线ac、bd交于点o，已知∠aob=60°，ac=8，则bc的长为4 ． 【考点】矩形的性质．【分析】由矩形的性质可得到oa=ob，于是可证明△abo为等边三角形，于是可求得ab=4，然后依据勾股定理可求得bc的长．【解答】解：∵四边形abcd为矩形，∴oa=ob= ac=4．∵oa=ob，∠aob=60°，∴△oab为等边三角形．∴ab=4．在rt△abc中，bc= =4 ．故答案为：4 ．12．如图，将▱abcd折叠，使点d、c分别落在点f、e处（点f、e都在ab所在的直线上），折痕为mn，若∠amf=50°，则∠a=65°． 【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形与折叠的性质，易得cd∥mn∥ab，然后根据平行线的性质，即可求得∠dmn=∠fmn=∠a，又由平角的定义，根据∠amf=50°，求得∠dmf的度数，然后可求得∠a的度数．【解答】解：∵四边形abcd是平行四边形，∴ab∥cd，根据折叠的性质可得：mn∥ae，∠fmn=∠dmn，∴ab∥cd∥mn，∴∠dmn=∠fmn=∠a，∵∠amf=50°，∴∠dmf=180°﹣∠amf=130°，∴∠fmn=∠dmn=∠a=65°，故答案为：65．13．如图，在菱形abcd中，ac与bd相交于点o，点p是ab的中点，po=3，则菱形abcd的周长是24． 【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质可得ac⊥bd，ab=bc=cd=ad，再根据直角三角形的性质可得ab=2op，进而得到ab长，然后可算出菱形abcd的周长．【解答】解：∵四边形abcd是菱形，∴ac⊥bd，ab=bc=cd=ad，∵点p是ab的中点，∴ab=2op，∵po=3，∴ab=6，∴菱形abcd的周长是：4×6=24，故答案为：2414．用平行四边形的定义和课本上的三个定理可以判断一个四边形是平行四边形，请探索并写出一个与它们不同的平行四边形的判定方法：答案不，如两组对角分别相等的四边形是平行四边形等．【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的定义以及判定方法得出即可．【解答】解：答案不，如两组对角分别相等的四边形是平行四边形等；理由：∵∠b=∠d，∠a=∠c，∠b+∠c+∠d+∠a=360°，∴∠b+∠c=180°，∠a+∠d=180°，∴ab∥cd，ad∥bc，∴四边行abcd是平行四边形．故答案为：答案不，如两组对角分别相等的四边形是平行四边形等． 15．若顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是矩形，则原四边形必须满足的条件是对角线互相垂直．【考点】中点四边形；矩形的判定．【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直．【解答】解：由于e、f、g、h分别是ab、bc、cd、ad的中点，根据三角形中位线定理得：eh∥fg∥bd，ef∥ac∥hg，∴四边形efgh是平行四边形，∵四边形efgh是矩形，即ef⊥fg，∴ac⊥bd，故答案为：对角线互相垂直． 16．已知在平面直角坐标系中，点a、b、c、d的坐标依次为（﹣1，0），（m，n），（﹣1，10），（﹣7，p），且p≤n．若以a、b、c、d四个点为顶点的四边形是菱形，则n的值是2，5，18．【考点】菱形的判定；坐标与图形性质．【分析】利用菱形的性质结合a，c点坐标进而得出符合题意的n的值．【解答】解：如图所示：当c（﹣7，2），c′（﹣7，5）时，都可以得到以a、b、c、d四个点为顶点的四边形是菱形，同理可得：当d（﹣7，8）则对应点c的坐标为；（﹣7，18）可以得到以a、b、c、d四个点为顶点的四边形是菱形，故n的值为：2，5，18．故答案为：2，5，18． 三、解答题（本大题共10小题，共68分）17．计算：（1） • （2） ﹣ ﹣3．【考点】分式的混合运算．【分析】（1）先约分，再计算即可；（2）化为同分母的分式，再进行相加即可．【解答】解：（1）原式=﹣ ；（2）原式= ﹣ ﹣ = = =﹣2．18．先化简，再求值： ÷（ ﹣1），然后从2，1，﹣1，﹣2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后选出合适的a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式= ÷ = • =﹣ ，当a=﹣2时，原式=﹣ =1．19．矩形定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形．已知：如图，▱abcd中，且ac=db．求证：▱abcd是矩形． 【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【分析】首先利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定与性质得出∠abc=∠dcb=90°，再利用矩形的判定方法得出答案．【解答】证明：∵四边形abcd是平行四边形，∴ab=dc，ab∥dc，在△abc和△dcb中 ，∴△abc≌△dcb（sss），∴∠abc=∠dcb，∵ab∥dc，∴∠abc=∠dcb=90°，∴▱abcd是矩形．20．如图，线段ab绕点o顺时针旋转一定的角度得到线段a1b1（点a的对应点为a1）．（1）请用直尺和圆规作出旋转中心o（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接oa、oa1、ob、ob1，并根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． 【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）连接aa1、bb1，再分别作aa1、bb1中垂线，两中垂线交点即为点o；（2）根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应点到旋转中心距离相等，据此可知．【解答】解：（1）如图，点o即为所求； （2）oa=oa1、∠aoa1=∠bob1．21．在▱abcd中，e、f分别是ab、cd的中点，af与de相交于点g，ce与bf相交于点h．（1）求证：四边形ehfg是平行四边形；（2）若四边形ehfg是矩形，则▱abcd应满足什么条件？（不需要证明） 【考点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定．【分析】（1）通过证明两组对边分别平行，可得四边形ehfg是平行四边形；（2）当平行四边形abcd是矩形，并且ab=2ad时，先证明四边形adfe是正方形，得出有一个内角等于90°，从而证明菱形ehfg为一个矩形．【解答】解：（1）∵四边形abcd是平行四边形，∴ae∥cf，ab=cd，∵e是ab中点，f是cd中点，∴ae=cf，∴四边形aecf是平行四边形，∴af∥ce．同理可得de∥bf，∴四边形fgeh是平行四边形；（2）当平行四边形abcd是矩形，并且ab=2ad时，平行四边形ehfg是矩形．∵e，f分别为ab，cd的中点，且ab=cd，∴ae=df，且ae∥df，∴四边形aefd为平行四边形，∴ad=ef，又∵ab=2ad，e为ab中点，则ab=2ae，于是有ae=ad= ab，这时，ef=ae=ad=df= ab，∠ead=∠fda=90°，∴四边形adfe是正方形，∴eg=fg= af，af⊥de，∠egf=90°，∴此时，平行四边形ehfg是矩形． 22．某校有1000名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了100名学生 进行抽样调查．整理样本数据，得到下列图表（频数分布表中部分划记被污染渍盖住）： （1）本次调查的个体是每名学生的上学方式；（2）求扇形统计图中，乘私家车部分对应的圆心角的度数；（3）请估计该校1000名学生中，选择骑车和步行上学的一共有多少人？【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）每一个调查对象称为个体，据此求解；（2）首先求得私家车部分所占的百分比，然后乘以周角即可求得圆心角的度数；（3）用学生总数乘以骑车和步行上学所占的百分比的和即可求得人数．【解答】解：（1）本次调查的个体是每名学生的上学方式；（2）（1﹣15%﹣29%﹣30%﹣6%）×360°=72°；答：乘私家车部分对应的圆心角的度数为72°；（3）1000×（15%+29%）=440人．答：估计该校1000名学生中，选择骑车和步行上学的一共有440人．23．已知：如图，在四边形abcd中，ad∥bc，对角线ac的垂直平分线与边ad、bc分别相交于点e、f．求证：（1）∠1=∠2．（2）四边形afce是菱形． 【考点】菱形的判定；线段垂直平分线的性质．【分析】（1）由平行线的性质：内错角相等即可证明；（2）由于知道了ef垂直平分ac，因此只要证出四边形afce是平行四边形即可得出afce是菱形的结论．【解答】证明：（1）∵ad∥bc，∴∠1=∠2；（2）∵ef是对角线ac的垂直平分线，∴ao=co，ac⊥ef，∵ad∥bc，∴∠aeo=∠cfo，在△aeo和△cfo中， ，∴△aeo≌△cfo（aas），∴ae=cf，∴四边形afce是平行四边形，又∵ac⊥ef，∴四边形afce是菱形．24．如图①，已知△abc是等腰三角形，∠bac=90°，点d是bc的中点，作正方形defg，使点a、c分别在dg和de上，连接ae、bg．（1）试猜想线段bg和ae的关系为；（2）如图②，将正方形defg绕点d按逆时针方向旋转α（0°＜α≤90°），判断（1）中的结论是否仍然成立，证明你的结论． 【考点】四边形综合题．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ade≌△bdg就可以得出结论；（2）如图2，连接ad，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ade≌△bdg就可以得出结论．【解答】解：（1）bg=ae．理由：∵△abc是等腰直角三角形，∠bac=90°，点d是bc的中点，∴ad⊥bc，bd=cd，∴∠adb=∠adc=90°．∵四边形defg是正方形，∴de=dg．在△bdg和△ade中， ，∴△ade≌△bdg（sas），∴bg=ae；（2）成立bg=ae．理由：如图②，连接ad，∵在rt△bac中，d为斜边bc中点，∴ad=bd，ad⊥bc，∴∠adg+∠gdb=90°． ∵四边形efgd为正方形，∴de=dg，且∠gde=90°，∴∠adg+∠ade=90°，∴∠bdg=∠ade．在△bdg和△ade中， ，∴△bdg≌△ade（sas），∴bg=ae． 25．浴缸有两个水龙头，一个放热水，一个放冷水，两水龙头放水速度：放热水的是a升/分，放冷水的速度是b升/分，下面有两种放水方式：方式一：先开热水，使热水注满浴缸的一半，后一半容积的水接着开冷水龙头注放．方式二：前一半时间让热水龙头注放，后一半时间让冷水龙头注放．（1）在方式一中：设浴缸容积为v升，则先开热水，热水注满浴缸一半所需的时间为 分；（2）两种方式中，哪种方式更节省时间？请说明理由．【考点】分式的混合运算．【分析】（1）根据题意即可得到结论；（2）首先浴缸容积为v，然后求出方式一和方式二注满时间为t、t′，最后作差比较．【解答】解：（1）先开热水注满浴缸一半所需的时间为 分；故答案为： ；（2）方式一：设浴缸容积为v，注满时间为t，依题意，得t= + ，方式二：同样设浴缸容积为v，注满总时间为t′，依题意得 t′a+ t′b=v所以t′= ，故t﹣t′= + ﹣ = = ，分类讨论：（ⅰ）当a=b时，t﹣t′=0，即t=t′（ⅱ）当a≠b时， ＞0，即t＞t′综上所述：（1）当放热水速度与放冷水速度不相等时，选择方式二节约时间．（2）当两水龙头放水速度相等时，选其中任一方式都可以，因为此时注满水的时间相等．26．在正方形abcd中，m、n是对角线ac上的两点．（1）如图①，am=cn，连接dm并延长，交ab于点f，连接bn并延长，交dc于点e，连接bm、dn．求证：①四边形mbnd为菱形②△mfb≌△ned．（2）如图②，am≠cn，连接bm并延长交ad于点g，连接dh并延长交bc于点n．连接dm、bn，若∠amb=105°，∠dnc=115°，则∠gmd﹢∠hnb的度数是80°． 【考点】四边形综合题．【分析】（1））①如图①中，连接bd交ac于o，先证明四边形bmdn是平行四边形，再根据nm⊥bd即可证明．②先证明四边形bfde是平行四边形，得到∠bfm=∠den，再证明bm=dn，∠bmf=∠dne即可解决问题．（2）分别求出∠gmd、∠hnb即可解决问题．【解答】（1）①证明：如图①中，连接bd交ac于o． ∵四边形abcd是正方形，∴oa=oc，ob=od，ac⊥bd，∵am=cn，∴om=on，∵ob=od，∴四边形mbnd是平行四边形，∵mn⊥db，∴四边形mbnd是菱形．②证明：∵四边形mbnd是菱形，∴dm∥nb，bm=dn，∠dmb=∠dnb，∴∠bmf=∠dne，∵bf∥de，∴四边形bfde是平行四边形，∴∠bfm=∠den，在△mfb和△ned中， ，∴△mfb≌△ned．（2）如图②中， ∵四边形abcd是正方形，∴∠bcn=∠dcn，bc=cd，在△ncb和△ncd中， ，∴△ncb≌△ncd，∴∠bnc=∠dnc=115°，同理可证∠amd=∠amb=105°，∵∠cnh=180°﹣∠dnc=65°，∴∠bnh=∠bnc﹣∠cnh=50°，∴∠dmg=105°﹣75°=30°，∴∠gmd﹢∠hnb=30°+50°=80°．故答案为80．